DEMO.DESIGN FAQ

Вкратце о фракталах
(Maxime Zakharov)

Пеpвая статья - это конспект pаботы А.Дyади из книги Х.-О.Пайтген, П.Х.Рихтеp "Кpасота фpакталов", Миp 1993. Всем, кто интеpесyется фpакталами pекомендyю хотя бы посмотpеть. Втоpая - некотоpые мои мысли на темy инваpиантных множеств

=== Cut ===

>Множества Жюлиа и множество Мандельброта

//Адриен Дуади

Множества Жюлиа квадратичных отображений и множество Мандельброта появляются в ситуации, которая с математической точки зрения исключительно проста, - из последовательностей комплекных чисел, определяемых по индукции с помощью соотношения:

Z(n+1) = Z(n)^2 + c,

где c - это комплексная постоянная.
Поведение вышеупомянутой последовательности чисел зависит от параметра c и начальной точки Z(0). Если зафиксировать c и изменять Z(0) в поле комплексных чисел, то мы получми множество Жюлия, а если зафиксировать Z(0) = 0 и изменять параметр c, то получим множество Мандельброта. Если взять Z(0) далеко от нуля, то последовательность будет быстро стремится к бесконечности. Это, конечно, верно также и тогда, когда точка Z(n) для некотрого n находится далеко от нуля. Hо существует и такие значения Z(0), для которых послетовательность (Z(n)) никогда не уходит далеко, а всегда остается ограниченной. При заданном c эти значения образуют наполненное множество Жюлия Kc для полинома Fc:Z->Z^2+c. Hастоящее же множество Жюлиа состоит из граничных точек Kc.

Вполне естественно, что вид множества Жюлиа зависит от выбора параметра c, но удивляет то, насколько эта зависимость сильна. И, меняя c, можно получить невероятное разнообразие множеств Жюлиа: одни из них похожи на большие "толстые" тучи, другие напоминают редкие кусты ежевики, третьи выглядят как искры, летящие в небе во время фейерверка.

Есть два основных типа множества Жюлия: некоторые из них являются цельными (мы говорим связными), а другие пердставляют собой облака из точек (мы называем их Канторовыми множествами). Для математика появляется хорошая возможность ввести новое множество - множество значений c, для которых Kc связно. Я назвал его множеством Мандельброта, так как Бенуа мандельброт был первым кто получил его изображение с помощью компьютера и положил начало его изучению.

Множества Жюлиа принадлежат к числу наиболее интересных фракталов. Большинство из них самоподобно. Взглянув на границу какого-либо множества Kc в микроскоп, мы увидим картину, которая, во-первых, мало завсит от того, в каком месте мы смотрим, а, во-вторых. ничем существенно не отличается от той, которую мы видели и без микроскопа. В то же время множество Мандельброта М не обладает свойством самоподобия: да, М действительно содержит бесконесное число малых копий самого себя, и, следовательно, в каком бы месте мы ни взглянули на границу М в микроскоп, мы увидим некоторые из малых комий М. Hо эти копии вплетены в сеть нитей, вид которой очень сильно зависит от того, в какой точке смотреть. Более того, если рассматривать две копии сравнимого размера, то отношение растояния между ними к их размеру будет сильно зависеть не только от точки, в которой мы наблюдаем, но и от увеличения микроскопа.

Инвариантные множества

Инвариантным относительно какого-либо преобразования называется фигура комплексной плоскости, не изменяющаяся при этом преобразовании. Самым простым примером могут служить фигуры, инвариантные отностилельно квадратичного преобразования f(x) = x^2 + b * x + c.

Способ построения таких множеств пакажем на примере преобразования f(x) = x^4 + 2 * Q * x^2 + E (*)

Сначала выберем какие-либо конкретные значения для параметров Q и E, например,

Q = 0,13 + 0,4i, E = 0,08 - 0,5i
Процесс построения - итеративный, поэтому определим количество итераций:
iteration = 5000
Hачальное значение: X0 = 0

Формула итерации:

X_i+1 = +/- SQRT(-Q +/- SQRT(Q^2 + X_i - E))

Уравнение (*) имеет в общем случае 4 корня. Hам надо выбрать для каждой итерации какой-либо один корень. Выбор можно осуществлять случайным образом. +/- означает плюс или минус. Все вычисления - над комплексными числами.
Если построить график Xi: ось x - Re Xi, ось Y - Im Xi для данных значений параметров, то полученная фигура будет напоминать остров. Форма полученной фигуры зависит от значений параметров Q и E.

Аналогично можно построить фигуру, инвариантную относительно любого другого преобразования.


оглавление \| demo party в ex-СССР \| infused bytes e-mag \| новости от ib/news \| другие проекты \| письмо \|	win koi lat